天體力學二體問題公式如何變換

pang

天體力學中二體問題裹有三個變量: e偏心率, E偏近點角, f真近點角.

其中有公式連結他們, 如

SIN(f)  =  SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E))  ----- (1)

請同好們把 公式(1) 變換成 公式(2) 如下:

SIN(E)  =  SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f))  ----- (2)

謝謝!

彭祿勝謹啟

2014-07-09

pang

我亦在香港天文論壇發表這論題
多謝同好csuse123 提出的意見

以下是利用 COS(f)和COS(E) 的關係推演的算式

      SIN(f)  =  SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E))  ----- (1)

=>    1 - (SIN(f))^2  =  1 - (SQRT(1-e*e))^2* (SIN(E))^2/ (1-e*COS(E))^2

                               (1-e*COS(E))^2 - (1-e*e) *(1-(COS(E))^2)
=>    (COS(f))^2  =  --------------------------------------------------------------
                                                 (1-e*COS(E))^2

                                (1-2*e*COS(E)+(e*COS(E))^2) - (1-e*e-(COS(E))^2+(e*COS(E))^2)
=>    (COS(f))^2  =  ----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  (1-e*COS(E))^2

                               (COS(E))^2 - 2*e*COS(E) + e^2
=>    (COS(f))^2  =  ------------------------------------------------
                                           (1-e*COS(E))^2

=>    COS(f)   =  (COS(E)-e) / (1-e*COS(E))             ----- (a)

=>    COS(E)  =  (COS(f)+e) / (1+e*COS(f))             ----- (b)

=>    1 - (COS(E))^2  =  1 - (COS(f)+e)^2/ (1+e*COS(f))^2

                                (1+2*e*COS(f)+(e*COS(f))^2) - ((COS(f))^2+2*e*COS(f)+e*e)
=>    (SIN(E))^2  =  ---------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        (1+e*COS(f))^2

                                1 - e*e + (e*COS(f))^2 - (COS(f))^2
=>    (SIN(E))^2  =  --------------------------------------------------------
                                             (1+e*COS(f))^2

                                (1-e*e) * (1-(COS(f))^2)
=>    (SIN(E))^2  =  --------------------------------------
                                      (1+e*COS(f))^2

=>    SIN(E)  =  SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f))  ----- (2)

      推算終於完成了!

這裹, 需連結 4條公式 (1), (a), (b) 和 (2)
    SIN(f)   =  SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E))   ----- (1)
    COS(f)  =  (COS(E)-e) / (1-e*COS(E))                   ----- (a)
    COS(E) =  (COS(f)+e) / (1+e*COS(f))                   ----- (b)
    SIN(E)  =  SQRT(1-e*e) *  SIN(f) / (1+e*COS(f))   ----- (2)

這是否很繁複呢? 而且事前要知道利用由SIN轉為COS的公式. 這怎能未卜先知呢?

其實由公式(1)轉為公式(2), 祗不過是利用中學裹所學的三角恆等式,
並沒有使用任何天文知識.

同好們, 請幫助去尋求一些簡單而直接的推算方法, 謝謝!

還有 公式(1)和(2) 是很對稱, 很美妙啊!
同樣 公式(a)和(b) 亦很對稱, 很美妙啊!

另外, 我發覺公式(1)和狹義相對論中羅倫子變換很相似,
稍後整理好便列出給同好們討論.

iheby

                       COS²(E) - 2*e*COS(E) + e²               ( COS(E) - e )²
    COS²(f)  =  —————————————— = ————————
                               (1-e*COS(E))²                          (1-e*COS(E))²

從這個步驟算下去

                        ( COS(E) - e )²
=>  COS²(f) - ———————— = 0
                        (1-e*COS(E))²

                          COS(E) - e                              COS(E) - e
=> [  COS(f) + —————— ]   x   [  COS(f) - —————— ] = 0
                          1-e*COS(E)                            1-e*COS(E)

                          COS(E) - e
=> COS(f) = ± ——————  ……………(a)
                         1-e*COS(E)

從(a)式算至(2)式也會遭遇相同情況，使兩個式最後再變出四個式。
另由(2)式反算到(1)式也理應得出四個式，數學角度如此。


從物理角度會否有物理條件或理由，限制四式中僅能挑其一，還是現實確有四種不同情況對應著四個式子呢？