天體力學第10課星曆表1問題1：克普勒第三定律

pang

各位天文同好：
    本人在香港天文學會理論天文組(簡稱TAG)的研習班「天體力學」(参考課本為Celestial Mechanics by Dr. J. B. Tatum [email protected])中負責某幾課題，本人綜合了課本編寫了一些筆記給組員，現附上其中一課「星曆表」的部份筆記。現提出一些問題供各同好討論，希望同好們熱切地提供意見。謝謝！
      彭祿勝  謹啟   2009-10-25
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
天體力學第10課星曆表1問題1：克普勒第三定律

行星軌道半長軸a的三次方與週期T的二次方成正比  或
行星軌道半長軸a的三次方與平均角速度n的二次方成反比

即公式： a^3/T^2 = 常數  或  a^3․n^2 = 常數μ = k^2
(其中k=0.01720209895,高斯引力常數 ； n=2π/T)

嚴格地說 ： a^3/T^2 = 常數嗎？    a^3․n^2 = 常數嗎？

以下摘錄自1988年中國天文年曆-行星軌道根數(曆元1988年2月9日0時)
   行星        半長軸a       平均角速度n(度)
   木星      5.2030052       0.08308639
   土星      9.5281363       0.03351616
天王星     19.1829259      0.01173117
海王星     30.0796115      0.00597457

以木星為例： n = 0.08308639度 = 0.0014501311rad
a^3․n^2 = 5.2030052^3․0.0014501311^2 = 0.00029619472
但 k^2 = 0.01720209895^2 = 0.0002959122083 , 上下兩者為何不相等？
其他行星的a^3․n^2 = 常數嗎？

mca

Dear Pang,

我不是天體力學的 fans，但讀天文系時知道 克普勒第三定律 的正式公式是
a^3‧n^2 = G (M + m)
其中 n = 2 pi / T， G = 萬有引力常數 ，  M = 太陽質量， m = 行星質量。

因為每顆行星的質量都不同 (即是說 m 是一個可變數)，故此嚴格地說 a^3‧n^2  不是一個常數。若要精確計算每顆行星的 T (軌道周期) 或 n 值 (平均角速度) ，該行星的質量 m 必須要包括在算式內，平常用的 a^3‧n^2 = 常數 只是簡化公式，準確度只得 3 significant digits 左右。

Alan Chu

mca

以木星為例
=======

軌道的半長軸 a = 5.2030052 天文單位  (a^3 = 140.8519227)
高斯引力常數 k = 0.01720209895   ( k^2 = 2.959122083 x 10^-4)
木星質量 m = 0.0009545 太陽質量

克普勒第三定律可改寫為  a^3‧n^2 = k^2 (1 + m)
n^2 = k^2 (1 + m) / a^3
        = 2.959122083 x 10^-4 (1.0009545) / 140.8519227
        = 2.102879754 x 10^-6

n = 0.001450130944 radian per day
   = 0.083086383 degree per day     (與天文年曆的數據相同)

AC

mca

順帶一提，根據 IAU 的定義， 地球軌道半長徑 = 1.000 000 031 天文單位 (不是 科普書說的 1 個天文單位)

因為 天文單位 的定義已改為
The Astronomical Unit (AU) is now defined as the distance from the Sun of a "massless" particle moving in a circular orbit around the Sun with an orbital period of one Gaussian year of 2 pi / k ephemweris days.

k 是高斯引力常數，相應公式是  a^3‧n^2 = k^2 ( 1 + m)

pang

多謝mca兄的意見，你的回覆很好，還把公式給與我們作参考。

    另外，小弟每星期提出的問題，都會放在香港天文論壇(http://www.hkastroforum.net/index.php)及香港天文學會(http://www.hkas.org.hk/)的討論區。

    再者，同好們可参加以下的有獎問答遊戲(獎品是無論有沒有回答，均可参加另一週我提出的問題)。

  行星    半長軸a         角速度n(rad)       a^3*n^2           a^3*n^2/k^2 ， k=0.01720209895
  木星     5.2030052   0.0014501311   0.0002961947   1.000955
  土星     9.5281363   0.0005849673   0.0002959969   1.000286
天王星   19.1829259   0.0002047475   0.0002959252   1.000044
海王星   30.0796115   0.0001042759   0.0002959271   1.000050

請問表列內的數值 .000955 ， .000286 ， .000044 ， .000050 分別代表什麼？

      彭祿勝  謹啟   2009-11-01

pang

引用HKASF的mca君的回應(發表於 2009-10-29, 19:58)
-------------------------------------------------------------------------------------------
我不是天體力學的 fans，但讀天文系時知道 克普勒第三定律 的正式公式是
a^3‧n^2 = G (M + m)
其中 n = 2 pi / T， G = 萬有引力常數 ，  M = 太陽質量， m = 行星質量。

因為每顆行星的質量都不同 (即是說 m 是一個可變數)，故此嚴格地說 a^3‧n^2  不是一個常數。若要精確計算每顆行星的 T (軌道周期) 或 n 值 (平均角速度) ，該行星的質量 m 必須要包括在算式內，平常用的 a^3‧n^2 = 常數 只是簡化公式，準確度只得 3 significant digits 左右。
-------------------------------------------------------------------------------------------

結論1 : a^3‧n^2 = G M (≡k^2) (常數) ... 是近似公式
結論1 : a^3‧n^2 = μ = G (M + m) ≠ k^2 (不是常數，與行星質量有關) ... 是正確公式
(a=半長軸，n=平均角速度) (M=太陽質量=1，m=行星質量) (G=萬有引力常數，k=高斯引力常數)

∴ 數值 .000955 和 .000286分別代表木星和土星的質量。

本人發現文獻描述克普勒第三定律時，一般物理書用近似公式，天體力學書及中國大百科全書用正確公式。請同好們查證其他文獻用什麼公式去描述此定律？

又引用「牧夫」的浪淘沙君的回應(时间: 2009-11-12, 15:01)
-------------------------------------------------------------------------------------------
        a(1000km)        T(天)        a^3 / T^2
木卫三        1070.0428,        7.154553,        23935275.84
木卫四        1883,        16.689018,        23971178.94
木卫一        421.769,        1.769138,        23971794.49
木卫二        671.079,        3.55181,        23956396.63
-------------------------------------------------------------------------------------------
請同好們計算木衛的質量。(1AU=149597870km, k=0.01720209895, 摘自1988年中國天文年曆)
(木星質量=0.00095467M, M=太陽質量)

謝謝！

彭祿勝  謹啟   2009-11-18

pang

引用「牧夫論壇」的浪淘沙君的回應的資料計算木衛的質量
        a(1000km)        T(天)        μ=a^3 / T^2        μ/μ(min)
木卫三        1070.0428        7.154553        23935275.84        1
木卫四        1883        16.689018        23971178.94        1.00150
木卫一        421.769        1.769138        23971794.49        1.00153
木卫二        671.079        3.55181        23956396.63        1.00088
∵μ=G(M+m) ； (這裹M=木星質量，m=木衛質量)
∴ 木卫四 减 木卫三 = 0.00150木星質量
   木卫一 减 木卫三 = 0.00153木星質量
   木卫二 减 木卫三 = 0.00088木星質量

結論2 :
就算是二體問題，正確公式仍是 a^3‧n^2 = μ = G (M + m) 。
因為二體問題中，兩物體是一起繞著質心運動，另外或可用簡化質量(Reduced mass)。
太陽系中,行星甚至太陽都要繞著太陽系質心運動。
地月系中,地球和月球都要繞著地月系質心運動。

結論3 : 在雙星系互繞運動中，可計算他們的質量比。

謝謝！
彭祿勝  謹啟   2009-11-22

mca

彭君談到「太陽系質心」，我也湊湊熱鬧提出兩個質心問題：

Q1.   地球和月球是一個二體系統，這個系統自然也有一個共同的質心 (center of mass)。設地球質量 = 月球質量的 81 倍，地月之間的距離 = 384400 公里，地球直徑 12750 公里，地月系統的質心是否一定在地球的體內呢 ?  若是，它離開地心多少公里 ?  

Q2.  既然太陽主宰 ~ 99.9 % 太陽系的總質量，太陽系的質心是否一定留在太陽的體內呢 ?  

Q1 是中學程度題目，用簡單算術便找到答案，Q2 要稍動腦根，我個人的 Q1 答案是 4700 km，
Q2 答案在 http://www.alanchuhk.com/Solar_System_CM.doc

AC