天體力學第10課星曆表1問題1:克普勒第三定律
各位天文同好:本人在香港天文學會理論天文組(簡稱TAG)的研習班「天體力學」(参考課本為Celestial Mechanics by Dr. J. B. Tatum [email protected])中負責某幾課題,本人綜合了課本編寫了一些筆記給組員,現附上其中一課「星曆表」的部份筆記。現提出一些問題供各同好討論,希望同好們熱切地提供意見。謝謝!
彭祿勝謹啟 2009-10-25
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天體力學第10課星曆表1問題1:克普勒第三定律
行星軌道半長軸a的三次方與週期T的二次方成正比或
行星軌道半長軸a的三次方與平均角速度n的二次方成反比
即公式: a^3/T^2 = 常數或a^3․n^2 = 常數μ = k^2
(其中k=0.01720209895,高斯引力常數 ; n=2π/T)
嚴格地說 : a^3/T^2 = 常數嗎? a^3․n^2 = 常數嗎?
以下摘錄自1988年中國天文年曆-行星軌道根數(曆元1988年2月9日0時)
行星 半長軸a 平均角速度n(度)
木星 5.2030052 0.08308639
土星 9.5281363 0.03351616
天王星 19.1829259 0.01173117
海王星 30.0796115 0.00597457
以木星為例: n = 0.08308639度 = 0.0014501311rad
a^3․n^2 = 5.2030052^3․0.0014501311^2 = 0.00029619472
但 k^2 = 0.01720209895^2 = 0.0002959122083 , 上下兩者為何不相等?
其他行星的a^3․n^2 = 常數嗎? 本帖最後由 mca 於 2009-10-29 21:35 編輯
Dear Pang,
我不是天體力學的 fans,但讀天文系時知道 克普勒第三定律 的正式公式是
a^3‧n^2 = G (M + m)
其中 n = 2 pi / T, G = 萬有引力常數 ,M = 太陽質量, m = 行星質量。
因為每顆行星的質量都不同 (即是說 m 是一個可變數),故此嚴格地說 a^3‧n^2不是一個常數。若要精確計算每顆行星的 T (軌道周期) 或 n 值 (平均角速度) ,該行星的質量 m 必須要包括在算式內,平常用的 a^3‧n^2 = 常數 只是簡化公式,準確度只得 3 significant digits 左右。
Alan Chu 本帖最後由 mca 於 2009-10-30 00:48 編輯
以木星為例
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軌道的半長軸 a = 5.2030052 天文單位(a^3 = 140.8519227)
高斯引力常數 k = 0.01720209895 ( k^2 = 2.959122083 x 10^-4)
木星質量 m = 0.0009545 太陽質量
克普勒第三定律可改寫為a^3‧n^2 = k^2 (1 + m)
n^2 = k^2 (1 + m) / a^3
= 2.959122083 x 10^-4 (1.0009545) / 140.8519227
= 2.102879754 x 10^-6
n = 0.001450130944 radian per day
= 0.083086383 degree per day (與天文年曆的數據相同)
AC 順帶一提,根據 IAU 的定義, 地球軌道半長徑 = 1.000 000 031 天文單位 (不是 科普書說的 1 個天文單位)
因為 天文單位 的定義已改為
The Astronomical Unit (AU) is now defined as the distance from the Sun of a "massless" particle moving in a circular orbit around the Sun with an orbital period of one Gaussian year of 2 pi / k ephemweris days.
k 是高斯引力常數,相應公式是a^3‧n^2 = k^2 ( 1 + m) 多謝mca兄的意見,你的回覆很好,還把公式給與我們作参考。
另外,小弟每星期提出的問題,都會放在香港天文論壇(http://www.hkastroforum.net/index.php)及香港天文學會(http://www.hkas.org.hk/)的討論區。
再者,同好們可参加以下的有獎問答遊戲(獎品是無論有沒有回答,均可参加另一週我提出的問題)。
行星 半長軸a 角速度n(rad) a^3*n^2 a^3*n^2/k^2 , k=0.01720209895
木星 5.2030052 0.0014501311 0.0002961947 1.000955
土星 9.5281363 0.0005849673 0.0002959969 1.000286
天王星 19.1829259 0.0002047475 0.0002959252 1.000044
海王星 30.0796115 0.0001042759 0.0002959271 1.000050
請問表列內的數值 .000955 , .000286 , .000044 , .000050 分別代表什麼?
彭祿勝謹啟 2009-11-01 引用HKASF的mca君的回應(發表於 2009-10-29, 19:58)
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我不是天體力學的 fans,但讀天文系時知道 克普勒第三定律 的正式公式是
a^3‧n^2 = G (M + m)
其中 n = 2 pi / T, G = 萬有引力常數 ,M = 太陽質量, m = 行星質量。
因為每顆行星的質量都不同 (即是說 m 是一個可變數),故此嚴格地說 a^3‧n^2不是一個常數。若要精確計算每顆行星的 T (軌道周期) 或 n 值 (平均角速度) ,該行星的質量 m 必須要包括在算式內,平常用的 a^3‧n^2 = 常數 只是簡化公式,準確度只得 3 significant digits 左右。
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結論1 : a^3‧n^2 = G M (≡k^2) (常數) ... 是近似公式
結論1 : a^3‧n^2 = μ = G (M + m) ≠ k^2 (不是常數,與行星質量有關) ... 是正確公式
(a=半長軸,n=平均角速度) (M=太陽質量=1,m=行星質量) (G=萬有引力常數,k=高斯引力常數)
∴ 數值 .000955 和 .000286分別代表木星和土星的質量。
本人發現文獻描述克普勒第三定律時,一般物理書用近似公式,天體力學書及中國大百科全書用正確公式。請同好們查證其他文獻用什麼公式去描述此定律?
又引用「牧夫」的浪淘沙君的回應(时间: 2009-11-12, 15:01)
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a(1000km) T(天) a^3 / T^2
木卫三 1070.0428, 7.154553, 23935275.84
木卫四 1883, 16.689018, 23971178.94
木卫一 421.769, 1.769138, 23971794.49
木卫二 671.079, 3.55181, 23956396.63
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請同好們計算木衛的質量。(1AU=149597870km, k=0.01720209895, 摘自1988年中國天文年曆)
(木星質量=0.00095467M, M=太陽質量)
謝謝!
彭祿勝謹啟 2009-11-18 引用「牧夫論壇」的浪淘沙君的回應的資料計算木衛的質量
a(1000km) T(天) μ=a^3 / T^2 μ/μ(min)
木卫三 1070.0428 7.154553 23935275.84 1
木卫四 1883 16.689018 23971178.94 1.00150
木卫一 421.769 1.769138 23971794.49 1.00153
木卫二 671.079 3.55181 23956396.63 1.00088
∵μ=G(M+m) ; (這裹M=木星質量,m=木衛質量)
∴ 木卫四 减 木卫三 = 0.00150木星質量
木卫一 减 木卫三 = 0.00153木星質量
木卫二 减 木卫三 = 0.00088木星質量
結論2 :
就算是二體問題,正確公式仍是 a^3‧n^2 = μ = G (M + m) 。
因為二體問題中,兩物體是一起繞著質心運動,另外或可用簡化質量(Reduced mass)。
太陽系中,行星甚至太陽都要繞著太陽系質心運動。
地月系中,地球和月球都要繞著地月系質心運動。
結論3 : 在雙星系互繞運動中,可計算他們的質量比。
謝謝!
彭祿勝謹啟 2009-11-22 彭君談到「太陽系質心」,我也湊湊熱鬧提出兩個質心問題:
Q1. 地球和月球是一個二體系統,這個系統自然也有一個共同的質心 (center of mass)。設地球質量 = 月球質量的 81 倍,地月之間的距離 = 384400 公里,地球直徑 12750 公里,地月系統的質心是否一定在地球的體內呢 ?若是,它離開地心多少公里 ?
Q2.既然太陽主宰 ~ 99.9 % 太陽系的總質量,太陽系的質心是否一定留在太陽的體內呢 ?
Q1 是中學程度題目,用簡單算術便找到答案,Q2 要稍動腦根,我個人的 Q1 答案是 4700 km,
Q2 答案在 http://www.alanchuhk.com/Solar_System_CM.doc
AC
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