Silver-ration 銀比例與開方根2

C.L.Chan

Silver-ration銀比例與開方根2     陳鑄略

日前寫了一篇短文談及黃金分割與計算其值的簡易方法. 黃金分割是

        AI______________________I_B_____________I C

將一段線長AC, 若要分開它於B點, 需要AC/AB = AB/BC,

則必必然是AC/AB = AB/BC = 1.618. 這個數字就叫黃金比例. 大自然中由人體的頭. 面. 身. 手. 腳的長度比例, 花果的瓣數或紋數比例.  以至古代建築. 名畫都可以找到這個代表美的比例數字 1.618.

看到上述文章後, 舊同事送來了 Silver-ratio銀比例的文章連結. 原來當把一段線分成三份.

I_______L________I_______L________I____S_____I

它們的比例要求是  L = 2.414 x S, 這個 2.414就叫 Silver-ratio銀比值.

而 2.414 =  1 + 1.414 = 1+ square root 2( 即 1.414 x 1.414 = 2).

開方根2是經常可在大自然中見到的一個數字, 例如在月球及地球的大型雙環壁隕石坑,

外環壁的直徑 = 1.414 x內環壁的直徑. 真奇!

文章連結更指出, 開方根2(=1.414) 可以通過佩爾數列 Peel Series續漸不斷運算而求得. 該數列可用公式求得

新數值 = 2 x排在上一位數值 + 排在上兩位的數值---(1)

佩爾數列:0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,…….

只要把這個數列的數值, 按下面公式

迫近數字 = 1+ (上兩位的數值 /上一位的數值)---(2)

作連續運算, 便可以迫近開方2的 1.41421 . 即下表B,C棟. 而 D棟及G棟分別取任意兩個數字, 按(1) 公式先產生各自的數列, 再用公式(2), 均可續漸求得 1.41421.

而棟H及J是改了不用公式(1) 及它的計算結果(棟 I , K), 均不能達到 1.41421.

結論 : 佩爾數列不是唯一尋找開方2的數列, 任何兩個數字, 只要用公式(1) 產生的數列均可用公式(2) 續漸求得開方2(=1.41421)之值.