續漸求得黃金分割數

C.L.Chan

任何相鄰數之和與大數的商數均可續漸求得黃金分割數          陳鑄略
今早想起” 勾三股四弦五”, 想到3和5是菲波那契數的兩個成員, 即
0, 1,1, 2, 3,5, 8,13,21,34,55,89,144,233,377,610….這些數目的相鄰數之和與大數的商數均可續漸接近黃金分割數1.6180339…,
即2+3/3 =1.66,…,377+610/610= 1.618033.
忽發奇想, 直角三角形的兩條邊 4與5, 若用此計算法,其值會續漸接近甚麼數值? 開始時想用電腦語言 BASIC 去寫個程式去找結果. 但是功力不足, 花了兩小時也不成功.一閃念, Excel 就可解決所需運算.
見下圖, 棟B 是菲波那契數, 棟 C 是它的這些數目的相鄰數之和與大數的商數均可續漸接近黃金分割數1.6180339….
棟D及 E是直角三角形再條邊 4, 5的相鄰數之和與大數的商數均可續漸接近黃金分割數 1.6180339….
棟 F及 G是兩個相距較大的2及8的相鄰數之和與大數的商數均可續漸接近黃金分割數 1.6180339….
棟H及I是兩個相距較大的單數3及13的相鄰數之和與大數的商數均可續漸接近黃金分割數 1.6180339….棟J及K是兩個相距較大的非菲波那契數6及30的相鄰數之和與大數的商數均可續漸接近黃金分割數 1.6180339….
結論 1 :經這次計算, 任何兩個數字的相鄰數之和與大數的商數均可續漸接近黃金分割數1.6180339….
結論2: 求取黃金分割數 1.6180339…,並非大家的認知, 只是菲波那契數獨有.
請教對數學有興趣的同好, 數學家如何解這個題目?

C.L.Chan

香玪瓏先生的回應：
用差分方程理論可以證明，一般而言結論1是正確的。證明如下：

差分方程u(n+2)=u(n+1)+u(n)的通解是u(n)=A·x^n + B·y^n。其中x和y是方程t^2-t-1=0的兩個根，設x>y，則y=-0.618...，x=1.618...為黃金分割數。A和B由初始條件決定，通常就是由首兩項決定。

一般情況下，A不等於零，那麼n很大時，B·y^n趨向零，u(n)大致等於A·x^n，兩相隣項之比便趨向x。