天體力學二體問題公式如何變換
天體力學中二體問題裹有三個變量: e偏心率, E偏近點角, f真近點角. 其中有公式連結他們, 如 SIN(f)=SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E))----- (1) 請同好們把 公式(1) 變換成 公式(2) 如下: SIN(E)=SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f))----- (2) 謝謝! 彭祿勝謹啟2014-07-09 我亦在香港天文論壇發表這論題多謝同好csuse123 提出的意見
以下是利用 COS(f)和COS(E) 的關係推演的算式
SIN(f)=SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E))----- (1)
=> 1 - (SIN(f))^2=1 - (SQRT(1-e*e))^2* (SIN(E))^2/ (1-e*COS(E))^2
(1-e*COS(E))^2 - (1-e*e) *(1-(COS(E))^2)
=> (COS(f))^2=--------------------------------------------------------------
(1-e*COS(E))^2
(1-2*e*COS(E)+(e*COS(E))^2) - (1-e*e-(COS(E))^2+(e*COS(E))^2)
=> (COS(f))^2=----------------------------------------------------------------------------------------------------
(1-e*COS(E))^2
(COS(E))^2 - 2*e*COS(E) + e^2
=> (COS(f))^2=------------------------------------------------
(1-e*COS(E))^2
=> COS(f) =(COS(E)-e) / (1-e*COS(E)) ----- (a)
=> COS(E)=(COS(f)+e) / (1+e*COS(f)) ----- (b)
=> 1 - (COS(E))^2=1 - (COS(f)+e)^2/ (1+e*COS(f))^2
(1+2*e*COS(f)+(e*COS(f))^2) - ((COS(f))^2+2*e*COS(f)+e*e)
=> (SIN(E))^2=---------------------------------------------------------------------------------------------
(1+e*COS(f))^2
1 - e*e + (e*COS(f))^2 - (COS(f))^2
=> (SIN(E))^2=--------------------------------------------------------
(1+e*COS(f))^2
(1-e*e) * (1-(COS(f))^2)
=> (SIN(E))^2=--------------------------------------
(1+e*COS(f))^2
=> SIN(E)=SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f))----- (2)
推算終於完成了!
這裹, 需連結 4條公式 (1), (a), (b) 和 (2)
SIN(f) =SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E)) ----- (1)
COS(f)=(COS(E)-e) / (1-e*COS(E)) ----- (a)
COS(E) =(COS(f)+e) / (1+e*COS(f)) ----- (b)
SIN(E)=SQRT(1-e*e) *SIN(f) / (1+e*COS(f)) ----- (2)
這是否很繁複呢? 而且事前要知道利用由SIN轉為COS的公式. 這怎能未卜先知呢?
其實由公式(1)轉為公式(2), 祗不過是利用中學裹所學的三角恆等式,
並沒有使用任何天文知識.
同好們, 請幫助去尋求一些簡單而直接的推算方法, 謝謝!
還有 公式(1)和(2) 是很對稱, 很美妙啊!
同樣 公式(a)和(b) 亦很對稱, 很美妙啊!
另外, 我發覺公式(1)和狹義相對論中羅倫子變換很相似,
稍後整理好便列出給同好們討論.
本帖最後由 iheby 於 2014-7-15 15:30 編輯
COS²(E) - 2*e*COS(E) + e² ( COS(E) - e )²
COS²(f)=—————————————— = ————————
(1-e*COS(E))² (1-e*COS(E))²
從這個步驟算下去
( COS(E) - e )²
=>COS²(f) - ———————— = 0
(1-e*COS(E))²
COS(E) - e COS(E) - e
=> x = 0
1-e*COS(E) 1-e*COS(E)
COS(E) - e
=> COS(f) = ± ——————……………(a)
1-e*COS(E)
從(a)式算至(2)式也會遭遇相同情況，使兩個式最後再變出四個式。
另由(2)式反算到(1)式也理應得出四個式，數學角度如此。
從物理角度會否有物理條件或理由，限制四式中僅能挑其一，還是現實確有四種不同情況對應著四個式子呢？
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